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第八十四章 帽子问题（第2页）

（2）、3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，8个人。

（3）、n顶黑帽子，n-1顶白帽子，n个人（n>0）。

（4）、1顶颜『色』1的帽子，2顶颜『色』2的帽子，……，99顶颜『色』99的帽子，100顶颜『色』100的帽子，共5000个人。

（5）、有红黄绿三种颜『色』的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜『色』是几顶，有6个人。

（6）、有不知多少人（至少两人）排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1。

大家可以先不看我下面的分析，试着做做这几题。

如果按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做，那么10个人就可以把我们累死，别说5000个人了。

但是（3）中的n是个抽象的数，考虑一下怎么解决这个问题，对解决一般的问题大有好处。

假设现在n个人都已经戴好了帽子，问排在最后的那一个人他头上的帽子是什么颜『色』，什么时候他会回答‘知道’？很显然，只有在他看见前面n-1个人都戴着白帽时才可能，因为这时所有的n-1顶白帽都已用光，在他自己的脑袋上只能顶着黑帽子，只要前面有一顶黑帽子，那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能──即使他看见前面所有人都是黑帽，他还是有可能戴着第n顶黑帽。

现在假设最后那个人的回答是‘不知道’，那么轮到问倒数第二人。

根据最后面那位的回答，他能推断出什么呢？如果他看见的都是白帽，那么他立刻可以推断出自己戴的是黑帽──要是他也戴着白帽，那么最后那人应该看见一片白帽，问到他时他就该回答‘知道’了。

但是如果倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽，他就无法作出判断──他有可能戴着白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人无法回答‘知道’；他自然也有可能戴着黑帽。

[]恋千年84

这样的推理可以继续下去，但是我们已经看出了苗头。

最后那个人可以回答‘知道’当且仅当他看见的全是白帽，所以他回答‘不知道’当且仅当他至少看见了一顶黑帽。

这就是所有帽子颜『色』问题的关键！

如果最后一个人回答‘不知道’，那么他至少看见了一顶黑帽，所以如果倒数第二人看见的都是白帽，那么最后那个人看见的至少一顶黑帽在哪里呢？不会在别处，只能在倒数第二人自己的头上。

这样的推理继续下去，对于队列中的每一个人来说就成了：

‘在我后面的所有人都看见了至少一顶黑帽，否则的话他们就会按照相同的判断断定自己戴的是黑帽，所以如果我看见前面的人戴的全是白帽的话，我头上一定戴着我身后那个人看见的那顶黑帽。

’

我们知道最前面的那个人什么帽子都看不见，就不用说看见黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答说‘不知道’，那么按照上面的推理，他可以确定自己戴的是黑帽，因为他身后的人必定看见了一顶黑帽──只能是第一个人他自己头上的那顶。

事实上很明显，第一个说出自己头上是什么颜『色』帽子的那个人，就是从队首数起的第一个戴黑帽子的人，也就是那个从队尾数起第一个看见前面所有人都戴白帽子的人。

这样的推理也许让人觉得有点循环论证的味道，因为上面那段推理中包含了‘如果别人也使用相同的推理’这样的意思，在逻辑上这样的自指式命题有点危险。

但是其实这里没有循环论证，这是类似数学归纳法的推理，每个人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而对于最后一个人来说，他的身后没有人，所以他的推理不依赖于其他人的推理就可以成立，是归纳中的第一个推理。

稍微思考一下，我们就可以把上面的论证改得适合于任何多种颜『色』的推论：

‘如果我们可以从假设断定某种颜『色』的帽子一定会在队列中出现，从队尾数起第一个看不见这种颜『色』的帽子的人就立刻可以根据和此论证相同的论证来作出判断，他戴的是这种颜『色』的帽子。

现在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看见了此种颜『色』的帽子。

如果在我前面我见不到此颜『色』的帽子，那么一定是我戴着这种颜『色』的帽子。

’

当然第一个人的初始推理相当简单：‘队列中一定有人戴这种颜『色』的帽子，现在我看不见前面有人戴这颜『色』的帽子，那它只能是戴在我的头上了。

’

对于题（1）事情就变得很明显，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给10个人戴，队列中每种颜『色』至少都该有一顶，于是从队尾数起第一个看不见某种颜『色』的帽子的人就能够断定他自己戴着这种颜『色』的帽子，通过这点我们也可以看到，最多问到从队首数起的第三人时，就应该有人回答“知道”

了，因为从队首数起的第三人最多只能看见两顶帽子，所以最多看见两种颜『色』，如果他后面的人都回答“不知道”

，那么他前面一定有两种颜『色』的帽子，而他头上戴的一定是他看不见的那种颜『色』的帽子。

题（2）也一样，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给8个人戴，那么队列中一定至少有一顶白帽子，因为其它颜『色』加起来一共才7顶，所以队列中一定会有人回答‘知道’。

题（4）的规模大了一点，但是道理和（2）完全一样。

100种颜『色』的5050顶帽子给5000人戴，前面99种颜『色』的帽子数量是1+……+99=4950，所以队列中一定有第100种颜『色』的帽子（至少有50顶），所以如果自己身后的人都回答“不知道”

，那么那个看不见颜『色』100帽子的人就可以断定自己戴着这种颜『色』的帽子。

至于（5）、（6）‘有红黄绿三种颜『色』的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜『色』是几顶，有6个人”

以及“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1’，原理完全相同，我就不具体分析了。