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第十六章 高维宇宙下（第5页）

但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”

的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。

虚数曾经是很令人费解的，因为它在自然界中没有实在性。

把虚数作为直线上的一个定向距离，把复数当作平面上的一个点或向量，这种解释为后来的四元数，非欧几里得几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函数，超限数等的引进开了先河，摆脱直接为物理学服务这一观念迎来了n维几何学。

1844年格拉斯曼在四元数的启发下，作了更大的推广，发表《线性扩张》，1862年又将其修订为《扩张论》。

他第一次涉及一般的n维几何的概念，他在1848年的一篇文章中说：

我的扩张的演算建立了空间理论的抽象基础，即它脱离了一切空间的直观，成为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物理）空间作特殊应用时才构成几何学。

然而扩张演算中的定理并不单单是把几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常一般的重要性，因为普通几何受（物理）空间的限制。

格拉斯曼强调，几何学可以物理应用发展纯智力的研究。

几何学从此开始割断了与物理学的联系而独自向前发展。

经过众多的学者的研究，遂于1850年以后，n维几何学逐渐被数学界接受。

以上是n维几何发展的曲折历程，以下是n维几何发展的一些具体过程。

首先，我们将点看作零维空间，直线看作一维空间，平面看作二维空间，并观察以下公设：

属于一条直线的两个点确定这条直线。

1.1

属于一条直线的两个平面确定这一条直线。

（比较这个公设和公设1.1）。

1.2

属于同一个点的两条直线也属于同一个平面。

（公设1.2的推论）1.3（也可能属于两个相交平面）

属于同一个平面的两条不平行直线，也属于同一个点。

1.4

可以推断出：

1.具有相同维数的两个空间，在某些条件下，确定另一个高一维的空间。

例如：两个点（我们将它们看作两个零维空间）确定一条直线（一维空间）。

属于同一个点（规定的条件）的两条直线（两个一维空间）也属于同一个平面（二维空间）。

2.具有相同维数的两个空间，在某些条件下，也可以确定一个低一维的空间。

例如：两个平面（两个二维空间）确定一条属于它们的直线（一维空间）。

属于同一平面（限定的条件）的两条共存直线（两个一维空间）确定一个点（零维空间）。

3.结论2没有包括这一事实，即两个平面可以确定一个高一维的空间。

它只假定它们确定一条直线，这是比平面低一维的空间。

这就留下了一个把我们的思想引申到高维空间的缺口。

这个缺口的消除可在推论1.3“属于同一个点的两条直线也属于同一个平面”

中，用几何元素直线、平面和三维空间依次的代替几何元素点、直线和平面来达到。

下面的推论是替换的结果。

属于同一条直线的两个平面也属于同一个三维空间。

有了这个新的推论，我们就把与其他几何元素直接对应的几何元素——三维空间也包括了。

下一步是把对偶原理应用于这一推理，并从这些新引申的推论中得到一些固有的结论。